公立中高一貫校講座で、参加した生徒と保護者の方が、似た問題を作成してくれました。
解き方が４つも書いてあったので、とても参考になりました。
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【問題】１辺１６ｃｍの正三角形を、１辺が１ｃｍの正三角形で分けると、小さい正三角形はいくつになりますか。
■解き方１
１辺の長さ１……増える正三角形１……全部の正三角形１
１辺の長さ２……増える正三角形３……全部の正三角形４
１辺の長さ３……増える正三角形５……全部の正三角形９
１辺の長さ４……増える正三角形７……全部の正三角形16
１辺の長さ５……増える正三角形９……全部の正三角形25
……
１辺の長さ16……増える正三角形？……全部の正三角形？
と表を使って、１辺の長さと全部の正三角形の数の間に次の式が成り立つことを見る
全部の正三角形＝１辺の長さ×１辺の長さ
■解き方２
１６ｃｍの正三角形の中には、８ｃｍの正三角形が４つあると考える。
８ｃｍ 〃 ４ｃｍ 〃 ４つ 〃 。
４ｃｍ 〃 ２ｃｍ 〃 ４つ 〃 。
２ｃｍ 〃 １ｃｍ 〃 ４つ 〃 。
すると、４×４×４×４が、１６ｃｍの正三角形の中にある１ｃｍの正三角形の数となる。
■解き方３
１ｃｍの正三角形の高さをｈｃｍとすると、１ｃｍの正三角形の面積は、１×ｈ÷２。
１６ｃｍの正三角形の面積は、１６×（１６×ｈ）÷２だから、
１６ｃｍの正三角形の面積÷１ｃｍの正三角形の面積を次のように求めることができる。
（１６×１６×ｈ÷２）÷（１×ｈ÷２）
■解き方４
１ｃｍの正三角形を２つ、上下を互い違いに並べて１つの平行四辺形を作る。
１ｃｍの辺の平行四辺形は１つ。
２ｃｍの辺の平行四辺形には、１ｃｍの辺の平行四辺形が４つできる。
３ｃｍの辺の平行四辺形には、１ｃｍの辺の平行四辺形が９つできる。
……
16ｃｍの辺の平行四辺形には、１ｃｍの辺の平行四辺形が？つできる。
この関係は、「１ｃｍの辺の平行四辺形の数＝辺の長さ×辺の長さ」だから、１６×１６が答え。
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問題と解き方を送ってくれた方、ありがとうございました。
なお、あとから気がつきましたが、１回目の講座で説明した「増える正三角形の数」を加えるやり方ではなく、最初から全部の正三角形の数との関係を考えた方がずっと簡単でした。
続いて、もうひとつ別の人が考えた似た問題です。
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【問題】１枚の紙を２枚に分け、次のその分けた２枚の紙をそれぞれ２枚に分けます。そのように繰り返していくと、２０回めに分けたときに、紙は全部で何枚になるでしょう。
１回目……２枚
２回目……４枚
３回目……８枚
４回目……16枚
……
20回目……？枚
法則を見つけ、計算の仕方を工夫して考えてみましょう。
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公立中高一貫校の対策は、このように、正しい答えを探すよりも、自分で似た問題を作ったり、別の解き方を考えたりする考える過程が大切です。
こういう考える過程を親子で楽しんでいくといいと思います。